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这是重整化群（Renormalization Group, RG）理论的自学笔记，涵盖临界现象、相变、标度律与普适类等内容。笔记以文章形式整理，并配有 Python 代码 以加深理解。
课程概述¶
重整化群的诞生源于对发散积分和临界现象的困惑，却在半个世纪内发展成为理解自然的一般性语言。从基本粒子的相互作用到燕群盘旋的天空，从神经网络的层层权重到地球气候的起伏变化，RG思想贯穿了对多尺度复杂系统的研究。宏观规律并非微观定律的简单叠加，而是经由尺度转换的涌现产物。通过RG，我们得以洞见为何截然不同的系统会共享相同的行为准则，如何从纷繁细节中抽取出支配全局的因素。
这些多尺度系统的共同挑战在于：当相关长度趋于发散时，传统的"尺度分离"假设彻底失效——局域涨落不再相互抵消，而是通过长程关联层层放大，直接耦合到宏观可观测量。面对 \(10^{23}\) 量级自由度的强关联，重整化群采取"分而治之"的策略：逐层约化短程自由度，追踪系统参数随观察尺度的"流动"，最终收敛到支配宏观行为的固定点。
正是这种流动解释了普适性的起源——为何微观机制迥异的系统会共享相同的临界指数。Kenneth Wilson 因发展这一理论于 1982 年获得诺贝尔物理学奖。本系列教程从临界现象的物理图像出发，建立统计力学基础，引入标度律与临界指数的定量语言，最终深入场论重整化群与现代前沿应用。
已完成笔记¶
第1部分：动机、统计物理与临界现象¶
规划主题¶
第1部分：动机、统计物理与临界现象（进行中）
- Landau 理论与 Ginzburg 判据——平均场的成功与失败
- 伊辛模型的世界——从 1D 精确解到 2D 临界点
- 块自旋与粗粒化——Kadanoff 的直观 RG 图像
第2部分：实空间 RG 与数值方法
- 实空间 RG 递推关系——相关维度与相图
- 有限尺寸标度与数据塌缩
- Monte Carlo 模拟伊辛模型——从 Metropolis 到簇算法
- Monte Carlo RG——从数值数据构造 RG 变换
- Ginzburg–Landau 泛函与连续场描述
- 从格点伊辛到 φ⁴ 场论
第3部分：场论重整化群与量子场论
- 路径积分与高斯场——从简谐振子到自由标量场
- φ⁴ 理论与费曼图——发散从哪里来？
- 重整化技术——正则化、反项与物理参数
- Callan–Symanzik 方程与 β 函数
- Wilson 视角的重整化群——"积出高动量模式"
- ε 展开与 Wilson–Fisher 固定点
- 量子场论中的 RG——QED、QCD 与渐近自由
- 非微扰重整化群——函数 RG 与大‑N 技巧
第4部分：张量网络、DMRG、复杂网络与非平衡 RG
- 密度矩阵重整化群（DMRG）与矩阵乘积态（MPS）
- 张量网络与多尺度纠缠重整化（MERA、TNR）
- 网络与图上的重整化群——从 Laplacian RG 到 Network RG
- 非平衡系统与主动物质中的 RG
- 量子引力、渐近安全与全息重整化群
第5部分：RG × 机器学习 & 跨学科前沿
- RG、信息论与参数压缩——从 Fisher 信息到"涌现理论"
- 深度学习与变分 RG——RBM、Neural RG 与互信息 RG
- 用深度学习"学会" RG——FRG+NN、Neural Tensor Network 等
- RG 在复杂系统与跨学科中的新方向介绍
- 前沿顶刊解读（贯穿教程）
代码输出演示¶
| 实空间重整化群流 |
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Kadanoff 块自旋粗粒化：128×128 → 64×64 → 32×32，微观涨落逐步消失，宏观秩序涌现
| 能量-熵权衡 | 自由能景观 | 特征重要性 |
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TERP 可解释 AI：用热力学自由能思想寻找最优解释
| 3D 渗流相变动画 | 有限尺寸标度分析 |
|---|---|
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左：3D Site Percolation 团簇演化动画；右：序参量和磁化率的有限尺寸标度分析
许可证¶
本项目采用 CC BY-NC-ND 4.0 许可。
Citation¶
如使用或参考本笔记，欢迎引用。BibTeX 格式如下：
@misc{liu2024renormalization,
author = {Liu, Zhihang},
title = {Renormalization Group},
year = {2025},
url = {https://github.com/Liu-Zhihang/Renormalization-Group},
note = {Self-study notes on critical phenomena, phase transitions, scaling laws and universality classes}
}