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引言：从场论到几何动力学

在第9讲中，课程基于朗道（Landau）平均场理论与对称性原则，构建了描述非平衡态相变的 Ginzburg-Landau 自由能泛函，并推导出了描述非守恒序参量演化的 Allen-Cahn 方程（Model A）。通过线性稳定性分析（LSA），第9讲成功解释了系统如何从均匀的高温无序态通过失稳分解（Spinodal Decomposition）自发破缺对称性，形成局域的有序结构。然而，线性理论仅适用于相变的极早期阶段，即序参量 \(\phi\) 较小且空间涨落平缓的时期。当系统演化进入晚期，序参量在大部分区域已饱和至势阱的极小值（\(\pm \phi_0\)），系统被清晰地划分为不同的“畴”（Domains），物理图像随之发生质的转变。

此时，系统的动力学不再由体（Bulk）内的微小涨落主导，而是由分隔不同有序相的界面（Interface）或畴壁（Domain Wall）所控制。这些界面并非数学上的抽象边界，而是承载着梯度能密度（Gradient Energy Density）的物理实体。在这一阶段，理解系统的演化需要进行一次关键的视角落差转换：从关注全空间的标量场 \(\phi(\vec{x}, t)\) 分布，转向关注界面几何形状的动力学行为。这种从微观场论到宏观几何动力学的粗粒化（Coarse-graining）过程，是处理复杂空间延展系统的核心方法论。

为了直观阐释界面张力与几何形状之间的物理联系，教授首先展示了1972年慕尼黑奥林匹克体育场的张拉膜结构。

课堂PPT截图

课堂PPT截图

几何模型——作为肥皂膜的极小曲面 (Geometric Models - Minimal Surfaces as Soap Films)左上角的人物是 Alexander Brill 教授。他在 19 世纪 80 年代于慕尼黑工业大学指导学生设计了一系列金属线框模型。这些模型被用来浸入肥皂水中，以生成有趣的曲面形状，帮助当时的物理学家和数学家研究极小曲面。\(E = \sigma \int \text{d}S\) 揭示了肥皂膜形成极小曲面的物理机制。\(E\) 代表表面能。\(\sigma\) (sigma) 代表表面张力系数。\(\int \text{d}S\) 代表总表面积。系统为了达到能量最低的稳定状态（最小化 \(E\)），在表面张力恒定的情况下，必须使表面积（\(\int \text{d}S\)）最小。下方的四张照片展示了不同几何形状的线框模型在蘸取肥皂液后形成的薄膜。这些薄膜自动形成的形状，就是在给定边界（线框）下的面积最小的曲面，即极小曲面。

这座建筑的设计灵感源自极小曲面（Minimal Surfaces）原理，其历史可追溯至19世纪慕尼黑工业大学的 Alexander Brill 教授及其学生制作的肥皂膜模型。肥皂膜在表面张力的驱动下会自动调整形状以最小化表面积，最终形成平均曲率为零的稳态结构。这一宏观现象与微观的 Allen-Cahn 动力学存在着深刻的数学同构性。这节课的目标，正是要从微观的 Allen-Cahn 方程出发，通过奇异摄动理论（Singular Perturbation Theory）和多尺度展开，严格推导出界面运动的有效方程。分析将证明，在非守恒系统中，界面的法向速度 \(V\) 与其局部平均曲率 \(H\) 成正比（\(V \propto -H\)），即曲率驱动流（Curvature-Driven Flow）。

这一结论不仅解释了相分离过程中的粗化（Coarsening）现象，也为理解晶体生长、生物膜动力学等提供了理论基础。同时，对界面动力学的探讨也为下一讲（第11讲）奠定了基础。在下一讲中，物理约束将从“非守恒”转变为“守恒”（即 Model B / Cahn-Hilliard 方程），并引入混合液体的热力学与麦克斯韦构造（Maxwell Construction），届时界面动力学将展现出与本讲截然不同的 Ostwald 熟化行为。

1. 静态界面解与表面张力

在第9讲中，课程利用线性稳定性分析（LSA）揭示了均匀系统如何通过 Spinodal 分解（失稳分解）自发产生微小的密度涨落。然而，线性理论的有效性仅限于相变初期。随着演化继续，序参量 \(\phi\) 在空间大部分区域迅速饱和至热力学稳态值 \(\pm \phi_0\)，系统进入了非线性主导的晚期阶段。此时，物理图像发生了根本性的转变：系统不再是均匀介质中的微扰，而是被清晰地划分为不同的“畴”（Domains）。

在这种状态下，系统的能量和动力学特征主要集中在分隔不同有序相的界面（Interface）上。要理解界面的运动规律（即界面动力学），首要任务是分析其静态结构。在 Allen-Cahn 方程（Model A）描述的非守恒系统中，一个静止的界面具有怎样的空间轮廓？维持这样一个非均匀结构需要付出多少能量代价？这节课将从微观的场方程出发，推导静态畴壁的解析解，并由此引出表面张力（Surface Tension）的微观定义。这不仅是连接微观场论与宏观几何动力学的桥梁，也为下一讲（第11讲）处理更复杂的守恒系统（Model B）及麦克斯韦构造奠定了基础。

1.1 稳态条件与一维力学类比

分析的起点是标准的非保守标量场方程——Model A (Allen-Cahn 方程) ：

\[ \partial_t \phi(\mathbf{x}, t) = - \frac{\delta \mathcal{F}}{\delta \phi} = \kappa \nabla^2 \phi - f'(\phi) \]

其中：

  • \(\phi(\mathbf{x}, t)\) 是实标量序参量（如磁化强度或二元混合物中的浓度差）。

  • \(\kappa\) 是刚度系数（Stiffness），源于自由能泛函中的梯度罚分项 \(\frac{\kappa}{2}(\nabla \phi)^2\)。它表征了空间耦合的强度，物理上倾向于抹平空间梯度，抑制界面的形成。

  • \(f(\phi)\) 是局域自由能密度，通常采用朗道双势阱形式，驱动系统发生对称性破缺，倾向于产生分离的相。

为了寻找静态界面解，施加稳态条件 \(\partial_t \phi = 0\)。考虑最简化的几何构型：一个无限大的系统，存在一个垂直于 \(x\) 轴的平直界面（Flat Interface），将左侧的 \(\phi_-\) 相与右侧的 \(\phi_+\) 相分隔开。由于平移对称性，\(\phi\) 仅依赖于空间坐标 \(x\)，偏微分方程简化为二阶常微分方程：

\[ \kappa \frac{d^2 \phi}{dx^2} - f'(\phi) = 0 \quad \Rightarrow \quad \kappa \partial_x^2 \phi = f'(\phi) \]

物理类比：

该方程在数学结构上等同于经典力学中一个质量为 \(\kappa\) 的粒子在倒置势场 \(-f(\phi)\) 中的牛顿运动方程（此处空间坐标 \(x\) 扮演“时间”的角色，场变量 \(\phi\) 扮演“位置”的角色）。这意味着界面轮廓的形成可以看作是系统在空间中寻找一条连接两个势能极值点的“最优轨迹”。

1.2 无量纲化与相关长度：Kink 解的推导

为了解析求解并提取系统的特征尺度，需要对物理量进行无量纲化（Nondimensionalization）。

对于标准的 \(\phi^4\) 双势阱 \(V(\phi) = -\frac{r}{2}\phi^2 + \frac{u}{4}\phi^4\)（其中 \(r, u > 0\)），其两个稳态极小值位于 \(\phi_{\pm} = \pm \sqrt{r/u}\)。首先引入无量纲场变量 \(\tilde{\phi}\)，将序参量归一化：

\[ \phi(x) = \phi_+ \cdot \tilde{\phi}(x) = \sqrt{\frac{r}{u}} \tilde{\phi}(x) \]

此时，稳态值对应于 \(\tilde{\phi} = \pm 1\)。为了计算方便，将自由能密度的零点平移至稳态处，即要求 \(f(\phi_{\pm}) = 0\)。调整后的势能函数写作：

\[ f(\phi) = \frac{r^2}{4u} (\tilde{\phi}^2 - 1)^2 \]

将变换后的变量代入稳态方程 \(\kappa \partial_x^2 \phi = f'(\phi)\)，整理量纲关系后，自然涌现出一个特征长度尺度 \(\xi\)。Frey 教授将其定义为相关长度（Correlation Length）：

\[ \xi = \sqrt{\frac{2\kappa}{r}} \]

\(\xi\) 的物理内涵：

1.界面的“厚度”：它决定了序参量从 \(\phi_-\)（-1）过渡到 \(\phi_+\)（+1）所需的空间范围。界面并非数学上的几何面，而是一个具有有限宽度 \(\sim \xi\) 的物理层。

2.临界发散：当控制参数 \(r \to 0\)（即温度逼近临界点 \(T_c\)）时，\(\xi \propto r^{-1/2} \to \infty\)。这表明在临界点附近，涨落变得长程相关，界面的概念变得模糊，直至界面宽度发散，系统进入临界乳光状态。

3.尺度分离假设：本节课后续推导界面动力学时，隐含了一个关键假设：系统远离临界点，使得界面宽度远小于系统的宏观尺度（如液滴半径 \(R\)），即 \(\xi \ll R\)。

引入无量纲空间坐标 \(\tilde{x} = x / \xi\)，方程简化为极简形式：

\[ \frac{d^2 \tilde{\phi}}{d\tilde{x}^2} = \tilde{\phi} (\tilde{\phi}^2 - 1) \]

利用积分因子法（类比经典力学中的能量守恒积分），将二阶方程降阶：

\[ \frac{1}{2} \left( \frac{d\tilde{\phi}}{d\tilde{x}} \right)^2 = \frac{1}{4} (\tilde{\phi}^2 - 1)^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{d\tilde{\phi}}{d\tilde{x}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - \tilde{\phi}^2) \]

(注：系数差异取决于势能定义的具体前因子，此处定性行为一致)。

通过分离变量积分，得到著名的 Kink 解（Kink Solution，或扭结解）：

\[ \tilde{\phi}(\tilde{x}) = \tanh(\tilde{x} - \tilde{x}_0) \]

回到原始物理变量，静态界面的解析表达式为：

\[ \phi(x) = \phi_+ \tanh\left( \frac{x - x_0}{\xi} \right) = \sqrt{\frac{r}{u}} \tanh\left( \sqrt{\frac{r}{2\kappa}} (x - x_0) \right) \]

该解描述了一个中心位于 \(x_0\)、宽度约为 \(\xi\) 的畴壁。场变量 \(\phi\) 在此区域内平滑、连续地连接了两个热力学稳态。

课堂板书截图

静态界面的 Kink 解结构与特征尺度。图中展示了无量纲化后的序参量 \(\tilde{\phi}\) 随空间坐标 \(x\) 的变化曲线。 序参量在 \(\tilde{\phi}=-1\) (\(\phi_-\)) 和 \(\tilde{\phi}=+1\) (\(\phi_+\)) 两个稳态之间切换。\(\tanh(x)\) 函数描述了界面的平滑过渡轮廓。图中标记的 "width" 对应相关长度 \(\xi\)，它定义了梯度的集中区域。在该区域内，梯度能 \(\kappa(\partial_x \phi)^2\) 显著非零。

1.3 表面张力的微观起源

Kink 解虽然是局部动力学稳态，但相对于全空间均匀的基态（Ground State，全为 \(\phi_+\) 或全为 \(\phi_-\)），界面的存在引入了额外的能量。这种单位面积的过剩自由能正是表面张力（Surface Tension, \(\gamma\)）的微观定义：

\[ \gamma = \frac{F[\phi_{\text{kink}}] - F[\phi_{\text{uniform}}]}{A} = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \left[ \underbrace{\frac{\kappa}{2} (\partial_x \phi)^2}_{\text{梯度能}} + \underbrace{f(\phi)}_{\text{势能罚分}} \right] \]

该积分揭示了表面张力源于两项竞争能量的平衡：

1.梯度能（Stiffness Term）：源于场的空间变化。界面越陡峭（\(\xi\) 越小），梯度越大，能量越高。这倾向于让界面变宽以减缓变化。

2.势能（Potential Term）：源于场偏离了极小值 \(\phi_{\pm}\)。在界面内部，\(\phi\) 必须翻越势垒。界面越宽，处于高势能区的体积越大，能量越高。这倾向于让界面变窄。

根据稳态方程的第一积分（类比力学中的 Virial 定理），这两项能量在稳态解中是处处相等的：\(\frac{\kappa}{2}(\partial_x \phi)^2 = f(\phi)\)。利用这一关系，可以将积分转换为仅依赖于势能的形式：

\[ \gamma = \int_{-\infty}^{+\infty} 2 f(\phi(x)) dx \]

更进一步，通过变量代换 \(dx = \frac{d\phi}{\phi'} = \frac{d\phi}{\sqrt{2f/\kappa}}\)，可以将空间积分转化为场变量空间的积分。这一步非常关键，因为它给出了一个不依赖于具体界面形状的表面张力通用表达式：

\[ \gamma = \int_{\phi_-}^{\phi_+} d\phi \sqrt{2\kappa f(\phi)} \]

将双势阱函数 \(f(\phi) \approx \frac{u}{4}(\phi^2 - \phi_0^2)^2\) 代入计算。我们需要仔细分析 \(\gamma\) 对微观参数 \(r, u, \kappa\) 的依赖关系（标度律）：

  • 积分限 \(\phi_{\pm} \propto \sqrt{r/u}\)。

  • 被积函数 \(\sqrt{f(\phi)} \propto \sqrt{u} \phi^2 \sim \sqrt{u} (r/u) = r/\sqrt{u}\)。

  • 还有系数 \(\sqrt{\kappa}\)。

综合量纲分析，表面张力的标度为：

\[ \gamma \propto \sqrt{\kappa} \cdot \left(\sqrt{\frac{r}{u}}\right) \cdot \left( \frac{r}{\sqrt{u}} \right) = \frac{r^{3/2} \sqrt{\kappa}}{u} \]

(注意：此处修正了部分文献中常见的 \(r^2\) 误记，严格积分结果表明其正比于势垒高度 \(\sim r^2/u\) 与宽度 \(\xi \sim \sqrt{\kappa/r}\) 的乘积，即 \(\gamma \sim (r^2/u) \cdot (\sqrt{\kappa/r}) = r^{3/2}\sqrt{\kappa}/u\))。

物理意义：

\(\gamma\) 是材料常数：表面张力完全由系统的微观参数（相互作用强度 \(\kappa\)、温度距离 \(r\)、非线性系数 \(u\)）决定，与界面的位置或宏观形状无关。

能量最小化驱动力：既然界面的存在伴随着能量代价 \(\gamma\)，系统为了降低总自由能，必然倾向于最小化界面的总面积。这种由微观统计物理导出的结论，正是宏观上观察到的“曲率驱动流”（如肥皂泡收缩）的根本原因。

2. 球形液滴的收缩动力学 (Shrinking Dynamics)

在第1小节中，通过解析静态界面解，确立了界面作为携带能量（表面张力 \(\gamma\)）的物理实体的概念。然而，静态解仅描述了平直界面的平衡状态。当界面发生弯曲时，系统的对称性被打破，界面张力将不再平衡，从而产生驱动力导致界面运动。为了定量描述这种动力学行为，这小节选取了最具有对称性的几何对象——球形液滴（Spherical Droplet）作为研究模型。

假设在一个无限大的稳态背景相 \(\phi_+\) 中，存在一个半径为 \(R(t)\) 的球形区域，其内部处于另一稳态相 \(\phi_-\)。物理直觉告诉我们，由于系统总是倾向于最小化总自由能（即最小化界面面积），这个液滴应当会自发收缩。本节的目标是从微观的 Allen-Cahn 方程出发，通过严格的数学推导，获得描述宏观半径 \(R(t)\) 演化的动力学方程。

2.1 球坐标下的动力学方程与曲率项

利用球对称性，序参量场 \(\phi\) 可以简化为仅依赖于径向坐标 \(r\) 和时间 \(t\) 的函数，即 \(\phi = \phi(r, t)\)。在 \(d\) 维空间中，拉普拉斯算子的径向部分展开为：

\[ \nabla^2 \phi = \frac{1}{r^{d-1}} \partial_r (r^{d-1} \partial_r \phi) = \partial_r^2 \phi + \frac{d-1}{r} \partial_r \phi \]

其中 \(d=3\) 对应球体液滴，\(d=2\) 对应圆盘状液滴。将此代入 Allen-Cahn 方程（Model A），得到径向演化方程：

\[ \partial_t \phi = \kappa \left( \partial_r^2 \phi + \frac{d-1}{r} \partial_r \phi \right) - f'(\phi) \]

物理意义： * \(\partial_r^2 \phi\) ：对应于一维平直界面的扩散项，负责维持界面的局部轮廓稳定性。

  • \(\frac{d-1}{r} \partial_r \phi\) ：这是由于几何弯曲引入的额外项。对于平直界面，半径 \(r \to \infty\)，该项消失；而在有限半径下，正是这一项代表了平均曲率（Mean Curvature）的影响，它打破了平移对称性，构成了驱动界面运动的核心“力”。

2.2 尺度分离与集体坐标拟设 (Ansatz)

直接求解上述非线性偏微分方程极为困难。为了简化问题，Frey 教授引入了非平衡态统计物理中处理模式形成的经典方法——集体坐标（Collective Coordinates）与尺度分离（Scale Separation）。

分析基于两个关键假设： 1.界面极薄：界面的特征宽度（相关长度 \(\xi\)）远小于液滴的宏观半径 \(R(t)\)，即 \(\xi \ll R(t)\)。

2.时间尺度分离：界面内部轮廓的弛豫速度极快（Fast Dynamics），迅速调整至局部稳态；而液滴半径的变化相对缓慢（Slow Dynamics）。

基于此，可以提出如下拟设（Ansatz）：

\[ \phi(r, t) \approx \rho\left( r - R(t) \right) \]

这里，\(\rho(z)\) 是第1节中推导出的一维静态 Kink 解（即 \(\tanh\) 函数），\(z = r - R(t)\) 代表相对于移动界面的局部坐标。这种拟设的物理含义是：界面在运动过程中保持其“体型”（Profile）不变，唯一的随时间变化的自由度是界面的位置 \(R(t)\)。通过这一步，问题从求解无限维场的演化 \(\phi(r,t)\) 成功降维为求解单一变量 \(R(t)\) 的动力学。

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球形液滴模型示意图展示了半径为 \(R(t)\) 的球形液滴。液滴内部为 \(\phi_-\) 相，外部为 \(\phi_+\) 相。在 \(r=R(t)\) 处存在一个宽度为 \(\xi\) 的过渡层（Interface）。箭头指示液滴半径随时间收缩。

2.3 投影方法 (Projection Method) 与运动方程推导

将拟设代入原始方程，利用链式法则计算导数：

  • 时间项：\(\partial_t \phi = \rho'(z) \cdot \frac{d}{dt}(r - R(t)) = -\dot{R} \rho'(z)\)

  • 空间项：\(\partial_r \phi = \rho'(z)\), \(\partial_r^2 \phi = \rho''(z)\)

代入原方程可得：

\[ -\dot{R} \rho'(z) = \kappa \left( \rho''(z) + \frac{d-1}{r} \rho'(z) \right) - f'(\rho) \]

注意到 \(\rho(z)\) 满足一维稳态方程 \(\kappa \rho'' - f'(\rho) = 0\)，因此方程右边的第一项和第三项在近似意义下相互抵消。剩余部分为：

\[ -\dot{R} \rho'(z) \approx \kappa \frac{d-1}{r} \rho'(z) \]

虽然方程两边看似可以直接约去 \(\rho'\)，但考虑到近似误差及数学严谨性，标准做法是采用投影方法：将方程投影到平移模态（Translational Mode）\(\rho'(z)\) 上。即在方程两边同乘以 \(\rho'(z)\)，并对全空间（径向 \(r\) 从 \(0\) 到 \(\infty\)）进行积分：

\[ \int_0^{\infty} dr \left[ -\dot{R} (\rho')^2 \right] \approx \int_0^{\infty} dr \left[ \kappa \frac{d-1}{r} (\rho')^2 \right] \]

积分近似处理：

  • 左边：\(\dot{R}\) 是与空间无关的时间导数，移出积分号。

  • 右边：由于 \(\rho'(z)\) 是一个仅在界面附近（\(r \approx R\)）显著非零的函数（类似 \(\delta\) 函数），在积分核中可以将缓变函数 \(1/r\) 近似为 \(1/R(t)\) 并移出积分号。

方程简化为：

\[ -\dot{R} \underbrace{\int_0^{\infty} (\rho')^2 dr}_{\text{常数 } \mathcal{A}} \approx \kappa \frac{d-1}{R(t)} \underbrace{\int_0^{\infty} (\rho')^2 dr}_{\text{常数 } \mathcal{A}} \]

积分项 \(\mathcal{A}\) 正比于表面张力 \(\gamma\)（回忆 \(\gamma \propto \int (\partial_x \phi)^2 dx\)），显然不为零，因此可以约去。最终得到描述液滴半径演化的简洁 ODE：

\[ \dot{R}(t) = - \kappa \frac{d-1}{R(t)} \]

2.4 物理意义：曲率驱动流与有限时间奇异性

推导出的方程 \(\dot{R} \propto -1/R\) 揭示了非保守系统界面动力学的几个核心特征：

1.收缩不可避免：由于刚度系数 \(\kappa > 0\) 且半径 \(R > 0\)，速度 \(\dot{R}\) 始终为负值。这意味着在 Model A 动力学中，任何孤立的球形畴都是不稳定的，必然会随时间收缩直至消失。这是系统降低界面能的直接后果。

2.曲率驱动 (Curvature Driven)：收缩速度与半径成反比。对于球面，平均曲率 \(H \sim 1/R\)。因此，该方程本质上表明界面的法向速度正比于其局部平均曲率。液滴越小，曲率越大，收缩速度越快。

3.有限时间奇异性 (Finite-time Singularity) ：

对微分方程进行分离变量积分：

\[ R \, dR = -\kappa(d-1) \, dt \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} R(t)^2 - \frac{1}{2} R_0^2 = -\kappa(d-1)t \]

解得：

\[ R(t) = \sqrt{R_0^2 - 2\kappa(d-1)t} \]

这表明液滴不会无限期存在，而是在一个有限的临界时刻 \(t_c = \frac{R_0^2}{2\kappa(d-1)}\) 处半径减为零。

4.理论的适用边界 ：当 \(t \to t_c\) 时，半径 \(R(t)\) 变得极小，乃至与界面宽度 \(\xi\) 相当（\(R \sim \xi\)）。此时，“尖锐界面”的尺度分离假设失效，宏观几何描述不再适用，微观场论的细节将重新主导动力学过程，最终导致拓扑结构的改变（液滴湮灭）。

3. 一般弯曲界面的运动方程

第2小节关于球形液滴的分析虽然直观，但仅适用于具有高度对称性的特例。为了构建描述迷宫状斑图、海绵结构等复杂形态演化的通用理论，必须将分析推广到任意形状的界面。这小节将通过引入法向坐标系（Normal Coordinates），证明 Model A 的界面动力学本质上是一种曲率驱动流（Curvature-Driven Flow）。这一结论不仅是连接微观场论与宏观微分几何的华彩乐章，也为理解从肥皂膜收缩到晶粒生长等广泛的物理现象提供了统一的数学语言。

3.1 局部几何与法向坐标系

考虑一个一般的光滑弯曲界面 \(\Sigma(t)\)，它将空间划分为 \(\phi_+\) 和 \(\phi_-\) 两相。为了描述界面附近的场分布，建立紧贴界面的局部曲线坐标系是必要的。对于界面邻域内的任意一点 \(\mathbf{x}\)，可以唯一地分解为：

\[ \mathbf{x} = \mathbf{s} + z \mathbf{n}(\mathbf{s}) \]

其中：

\(\mathbf{s}\) ：点 \(\mathbf{x}\) 在界面 \(\Sigma(t)\) 上的正交投影点。

\(\mathbf{n}(\mathbf{s})\) ：界面在 \(\mathbf{s}\) 处的单位法向量，约定指向 \(\phi_+\) 区域（即 \(\mathbf{n}^2=1\)）。

\(z\) ：沿法向的有向距离（Signed Distance）。当 \(\mathbf{x}\) 位于 \(\phi_+\) 一侧时 \(z>0\)，位于 \(\phi_-\) 一侧时 \(z<0\)。

在这个曲线坐标系下，拉普拉斯算子 \(\nabla^2\) 可以分解为沿着法向导数和切向导数的组合。对于“薄界面”而言，场变量沿法向的变化极其剧烈（尺度为 \(\xi\)），而沿切向的变化则由宏观曲率决定（尺度为 \(R \gg \xi\)）。因此，拉普拉斯算子的主导项为：

\[ \nabla^2 \phi = \partial_z^2 \phi + (\nabla \cdot \mathbf{n}) \partial_z \phi + \Delta_{\Sigma} \phi \]

\(\partial_z^2 \phi\) ：法向二阶导数，描述穿过界面时的轮廓变化。

\((\nabla \cdot \mathbf{n}) \partial_z \phi\) ：这是几何修正项。散度 \(\nabla \cdot \mathbf{n}\) 描述了法向量的发散程度，在微分几何中，它严格等于界面的主曲率之和（即 \(C_1 + C_2\) 或 \((d-1)H\)）。

\(\Delta_{\Sigma} \phi\) ：界面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator），描述切向变化。在薄界面极限下，该项相对于法向变化是高阶小量，通常被忽略。

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弯曲界面的局部几何。图中展示了弯曲界面（白色曲线）将空间分为 \(\phi_+\) 和 \(\phi_-\) 两个区域。

\(\mathbf{n}\) ：单位法向量，垂直于界面指向外侧。

\(z\) ：沿法向的局部坐标。

几何意义 ：法向量的散度 \(\nabla \cdot \mathbf{n}\) 编码了界面的局部弯曲程度，这是驱动界面演化的几何源头。

3.2 艾伦-卡恩界面方程的推导

再次应用多尺度分析的思想。假设在微观尺度上，界面始终维持着局部平衡态的 Kink 轮廓，而其宏观位置 \(\zeta(t)\) 随时间演化。这意味着场变量 \(\phi\) 可以写为行波解的形式：

\[ \phi(\mathbf{x}, t) \approx \rho(z - \zeta(\mathbf{s}, t)) \]

其中 \(\rho\) 是静态解轮廓，\(\zeta\) 是界面位置。界面的法向速度定义为 \(v_n = \partial_t \zeta\)。

将此拟设代入 Allen-Cahn 方程：

1.时间项：\(\partial_t \phi = \rho' \cdot \partial_t(z - \zeta) = -v_n \rho'(z)\)。

2.空间项：\(\nabla^2 \phi \approx \rho''(z) + (\nabla \cdot \mathbf{n}) \rho'(z)\)。

于是，动力学方程转化为：

\[ -v_n \rho' = \kappa \left[ \rho'' + (\nabla \cdot \mathbf{n}) \rho' \right] - f'(\rho) \]

利用一维静态解的控制方程 \(\kappa \rho'' - f'(\rho) = 0\)，方程右边的第一项（扩散主项）与第三项（反应项）精确抵消。剩余项揭示了非平衡演化的驱动力：

\[ -v_n \rho'(z) = \kappa (\nabla \cdot \mathbf{n}) \rho'(z) \]

由于 \(\rho'(z)\) 仅在界面附近非零（局部化），我们可以消去 \(\rho'\)，得到描述界面几何运动的封闭方程——Allen-Cahn 定律：

\[ v_n = - \kappa (\nabla \cdot \mathbf{n}) \]

引入主曲率 \(C_1, C_2\)（在三维空间中），根据微分几何关系 \(\nabla \cdot \mathbf{n} = C_1 + C_2\)（即两倍的平均曲率 \(2H\)），最终得到：

\[ v_n = - \kappa (C_1 + C_2) \]

3.3 几何流的物理内涵

推导出的方程 \(v_n \propto -(C_1 + C_2)\) 极其简洁，却蕴含了深刻的物理与几何意义：

1.几何决定命运（Geometry as Destiny）：

界面的瞬时运动速度完全由其当前的局部几何形状（曲率）决定，而与历史路径无关。这是一种无记忆的几何流。

2.曲线缩短流（Curve Shortening Flow）：

方程中的负号意味着界面总是向着曲率中心的反方向（即凹陷的一侧）运动。

  • 凸区域（\(C > 0\)）：速度向内，导致收缩（如球形液滴）。

  • 凹区域（\(C < 0\)）：速度向外，导致扩张。 这种运动趋势会不断抹平界面上的微小褶皱，使界面变得光滑，并倾向于减小界面的总面积（二维中的总长度）。

3.极小曲面的动力学途径：

当界面达到稳态时，必须满足 \(v_n = 0\)，即 \(C_1 + C_2 = 0\)。这正是极小曲面（Minimal Surface）的定义（平均曲率为零）。这完美呼应了引言中提到的慕尼黑奥林匹克体育场和肥皂膜实验：肥皂膜之所以形成极小曲面，正是因为表面张力驱动其遵循 \(v_n \propto -H\) 的动力学规律演化，直至能量极小。

4.粗化（Coarsening）的微观机制：

在相分离的晚期，这一机制导致了系统的粗化。小液滴因曲率大而快速收缩消失，大液滴相对稳定。虽然 Model A 本身不守恒（液滴直接消失而非通过扩散转移质量），但这种“曲率驱动的湮灭”是所有相分离动力学中共有的几何特征。

4. 代码实践

代码实践部分将通过模拟一个孤立的球形液滴（Spherical Droplet），来直观验证第2节中推导出的曲率驱动收缩（Curvature-Driven Shrinkage）现象。

核心求解器依然采用有限差分法和显式欧拉积分。但为了验证理论推导中的“尺度分离”假设（即界面宽度 \(\xi\) 远小于液滴半径 \(R\)），我们需要在初始化时精心设定几何参数。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

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# 1. Physics & Simulation Parameters
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N = 200           # Grid size
dx = 1.0          # Spatial resolution
kappa = 2.0       # Stiffness (Increased slightly to make interface smoother)
dt = 0.05         # Time step (Satisfies CFL: 0.05 < 1^2 / (4*2) = 0.125)

# Potential parameters
r = 1.0
u = 1.0
# Theoretical Interface Width: xi = sqrt(2*kappa/r) = sqrt(4) = 2.0
# Theoretical Critical Radius: R should be >> xi (e.g., R=40)

total_steps = 4000
steps_per_frame = 50

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# 2. Initialization: Spherical Droplet
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# We explicitly set up the "Droplet Scenario" from Section 2
# Background is phi = -1, Droplet is phi = +1
phi = -1.0 * np.ones((N, N))

# Create coordinate grid
Y, X = np.ogrid[:N, :N]
center = N // 2
R_initial = 60.0

# Create a sharp circular interface
mask = (X - center)**2 + (Y - center)**2 < R_initial**2
phi[mask] = 1.0

# Note: The simulation will naturally "smooth" this sharp edge 
# into a tanh profile within the first few steps.

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# 3. Solver Functions
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def laplacian(field, dx):
    """Discrete Laplacian with Periodic Boundary Conditions."""
    left = np.roll(field, -1, axis=0)
    right = np.roll(field, 1, axis=0)
    up = np.roll(field, -1, axis=1)
    down = np.roll(field, 1, axis=1)
    return (left + right + up + down - 4 * field) / dx**2

def free_energy_derivative(phi, r, u):
    """Derivative of the double-well potential."""
    return -r * phi + u * phi**3

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# 4. Visualization Setup
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
# Use a diverging colormap to clearly see the interface (white/green region)
im = ax.imshow(phi, cmap='RdBu_r', vmin=-1.1, vmax=1.1, animated=True)

# Add a contour line to visualize the exact interface position (phi=0)
contour = ax.contour(phi, levels=[0], colors='yellow', linewidths=1)

time_text = ax.text(0.05, 0.95, '', transform=ax.transAxes, color='black', fontsize=12)
ax.set_title("Curvature-Driven Flow: Shrinking Droplet")
ax.axis('off')

def update(frame):
    global phi
    # Physics update loop
    for _ in range(steps_per_frame):
        lap = laplacian(phi, dx)
        reaction = -free_energy_derivative(phi, r, u)
        # Allen-Cahn Equation
        phi += dt * (kappa * lap + reaction)

    # Visualization update
    im.set_array(phi)

    # Update contour lines (remove old ones and draw new)
    for c in ax.collections:
        if c != im: c.remove()
    ax.contour(phi, levels=[0], colors='yellow', linewidths=1.5)

    current_time = (frame + 1) * steps_per_frame * dt
    time_text.set_text(f"Time: {current_time:.1f}")

    return im, time_text

# Run animation and save as video
ani = animation.FuncAnimation(fig, update, frames=200, interval=20, blit=False)
ani.save('droplet_shrinkage.mp4', writer='ffmpeg', fps=30)

轮廓弛豫（Profile Relaxation）：

  • 初始时刻，人为设定的边界是锯齿状的“台阶”。
  • 在最初的几个时间步内，边界迅速变平滑，形成具有固定宽度 \(\xi\) 的过渡层。这验证了尺度分离假设中提到的“界面轮廓弛豫快于宏观几何演化”。

形状保持（Shape Preservation）：

  • 在收缩过程中，液滴始终保持完美的圆形。这验证了曲率流的各向同性性质——圆上的每一点曲率相同，因此具有相同的法向内缩速度。

加速收缩（Accelerated Shrinkage）：

  • 这是最关键的观察点。注意液滴变小的速度。
  • 在大半径时，收缩很慢（\(R\) 大，\(1/R\) 曲率小）。
  • 随着半径减小，收缩肉眼可见地变快。
  • 在最后时刻，液滴会突然地消失。这展示了方程 \(\dot{R} \propto -1/R\) 预测的有限时间奇异性（Finite-time Singularity）。

总结

这节课实现了从微观场论到宏观几何动力学的转变。从描述序参量弛豫的 Allen-Cahn 方程（Model A）出发，利用尺度分离和集体坐标的粗粒化技术，成功推导出了描述界面运动的有效动力学方程。

界面作为动力学实体：虽然在微观上界面是场 \(\phi\) 的连续过渡区，但在宏观尺度下，它被视为一个具有表面张力 \(\gamma\) 的几何曲面。

曲率驱动流：界面的法向速度由其局部平均曲率决定：\(v_n = - \kappa H\)。这一简洁的几何定律解释了从肥皂泡收缩到材料晶粒生长的广泛自然现象，表明非平衡态系统演化的主要驱动力之一是表面能的最小化。

投影方法（Projection Method）和渐近匹配（Asymptotic Matching）有力地支持了从复杂的非线性偏微分方程中提取低维有效动力学的过程。

这节课讨论的 Model A 具有一个关键特征：序参量是不守恒的（例如磁化强度，自旋可以翻转），导致液滴可以直接收缩消失。然而，在许多重要的物理系统——特别是流体混合物和生物相分离中——序参量（如浓度）受到局部守恒律的约束（物质不能凭空消失，只能扩散）。

在下一讲中，课程将引入守恒型动力学（Model B / Cahn-Hilliard 方程）。届时将看到，当施加守恒约束后，单个液滴无法简单消失，而是通过长程扩散场进行竞争（奥斯特瓦尔德熟化，Ostwald Ripening）。此外，下一讲还将深入探讨混合液体的热力学基础，解析如何通过麦克斯韦构造（Maxwell Construction）确定共存相并绘制相图（Phase Diagrams），为理解细胞内的液-液相分离（LLPS）提供完整的理论图景。